离散余弦变换（Discrete Cosine Transform, DCT）起源于切比雪夫插值思想，利用切比雪夫多项式进行余弦变化，本质上是傅里叶变化的形式。
一维数组 DCT 离散余弦变换：
$y_n=\sqrt{\dfrac{2}{N}}\displaystyle\sum_{k=0}^{N-1}x_k\dfrac{1}{\sqrt{1+\delta_{k_0}}}\cos\left[\dfrac{\pi}{2N}(k-1)(2n-1)\right]$
一维数组 IDCT 逆离散余弦变换：
$y_n=\sqrt{\dfrac{2}{N}}\displaystyle\sum_{k=0}^{N-1}x_k\dfrac{1}{\sqrt{1+\delta_{n_0}}}\cos\left[\dfrac{\pi}{2N}(2k-1)(n-1)\right]$
其中，数组元素个数为 N，输入数组为 x，输出数组为 y，超参数项 $\dfrac{1}{\sqrt{1+\delta}}$ 也可以忽略删除。
二维矩阵 DCT 离散余弦变换：
$B_{pq}=\alpha_p\alpha_q\displaystyle\sum_{m=0}^{M-1}\sum_{n=0}^{N-1}A_{mn}\cos\dfrac{\pi(2m+1)p}{2M}\cos\dfrac{\pi(2n+1)q}{2N}$
二维矩阵 IDCT 逆离散余弦变换：
$A_{mn}=\displaystyle\sum_{p=0}^{M-1}\sum_{q=0}^{N-1}\alpha_p\alpha_qB_{pq}\cos\dfrac{\pi(2m+1)p}{2M}\cos\dfrac{\pi(2n+1)q}{2N}$
其中，输入矩阵为 A，输出矩阵为 B，矩阵 M 行 N 列，超参数项 $\alpha$ 可忽略删除，如果不删除，一般取值如下：
$\begin{align}
\alpha_p=
\begin{cases}
\dfrac{1}{\sqrt{M}},\quad p=0
\\[2ex]
\sqrt{\dfrac{2}{M}},\quad 1\leqslant p\leqslant M-1
\end{cases}
\quad
\alpha_q=
\begin{cases}
\dfrac{1}{\sqrt{N}},\quad q=0
\\[2ex]
\sqrt{\dfrac{2}{N}},\quad 1\leqslant q\leqslant N-1
\end{cases}
\end{align}$
逆变化得到的矩阵 $A$ 可以理解为以下因子的和式：
$\alpha_p\alpha_q\cos\dfrac{\pi(2m+1)p}{2M}\cos\dfrac{\pi(2n+1)q}{2N}$
该因子也称为二维 DCT 的基，元素 $B_{pq}$ 称为 $A$ 矩阵的 DCT 系数，所以 $B_{pq}$ 也是因子基的权重。
离散余弦变换可以应用在图像领域，它可以把图像右下方的像素信息特征提取部分到图像左上方，使得左上方集中图像的低频率信息（样貌），右下方集中图像高频率信息（细节），高低频率信息分离开来后有利于后续（如压缩、量化、切分等）处理。